跳转至

Chapter 04 : Numerical Differentiation and Integration

约 2548 个字 6 张图片 预计阅读时间 13 分钟

Numerical Differentiation

目标：对于给定的 \(x_0\)，近似计算 \(f'(x_0)\)（即数值微分，Numerical Differentiation）

事实上，微分有向前和向后两种计算公式：

  • 向后：\(f'(x_0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)−f(x_0)}{h}\)

  • 向前：\(f'(x_0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0)−f(x_0−h)}{h}\)

现在我们用 \(f(x)\) 的带有插值点 \(x_0,x_0+h\) 的拉格朗日多项式来近似表示 \(f(x)\)：

\[ \begin{aligned} f(x)&=\frac{f(x_0)(x-x_0-h)}{x-x_0-h}+\frac{f(x_0+h)(x-x_0)}{x_0+h-x_0}\\ &+\frac{(x-x_0)(x-x_0-h)}{2}f''(\xi_x)\\ f'(x)&=\frac{f(x_0+h)−f(x_0)}{h}+\frac{2(x-x_0)-h}{2}f''(\xi_x)\\ &+\frac{(x-x_0)(x-x_0-h)}{2}\frac{d}{dx}[f''(\xi_x)]\\ \Rightarrow f'(x_0)&=\frac{f(x_0+h)−f(x_0)}{h}\underbrace{-\frac{h}{2}f''(\xi_x)}_{O(h)} \end{aligned} \]

推广到一般情况，我们用 \(n+1\) 个插值点 \(\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}\) 来近似表示 \(f(x)\)：

\[ \begin{aligned} f(x)&=\sum\limits_{k=0}^nf(x_k)L_k(x)+\frac{(x-x_0)\cdots(x-x_n)}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi_x)\\ f'(x_j)&=\sum\limits_{k=0}^nf(x_k)L_k'(x_j)+\frac{f^{(n+1)}(\xi_j)}{(n+1)!}\prod_{k = 0,k\neq j}^n(x_j-x_k) \end{aligned} \]
  • 一般来说，更多的插值点会带来更大的近似精度
  • 但另一方面，随着插值点的增加，舍入误差也在变大，因此数值微分是不稳定的！

Examples

给定三个点 \(x_0,x_0+h,x_0+2h\)，请求得关于每个点的三点公式，然后选出对于 \(f'(x)\) 而言最佳的三点公式

Answer
\[ \begin{aligned} f'(x_0​)&=\frac{1}{h}\big[-\frac{3}{2}f(x_0)+2f(x_0+h)-\frac{1}{2}f(x_0+2h)\big]+\frac{h^2}{3}f^{(3)}(\xi_0)\\ f'(x_0+h)&=\frac{1}{h}\big[-\frac{1}{2}f(x_0)+\frac{1}{2}f(x_0+2h)\big]-\frac{h^2}{6}f^{(3)}(\xi_1)\\ \Rightarrow f'(x_0)&=\frac{1}{2h}[f(x_0+h)-f(x_0-h)]-\frac{h^2}{6}f^{(3)}(\xi_1) \end{aligned}​ \]

寻找近似计算 \(f''(x0)\) 的方式

Answer

考虑在 \(x_0\)​ 处 \(f(x_0+h),f(x_0−h)\) 的泰勒展开式：

\[ \begin{aligned} f(x_0+h)&=f(x_0)+hf'(x_0)+\frac{h^2}{2}f''(x_0)+\frac{h^3}{6}f^{(3)}(x_0)+\frac{h^4}{24}f^{(4)}(\xi_1)\\ f(x_0−h)&=f(x_0)−hf'(x_0)+\frac{h^2}{2}f''(x_0)−\frac{h^3}{6}f^{(3)}(x_0)+\frac{h^4}{24}f^{(4)}(\xi_{-1})\\ \Rightarrow f''(x_0)&=\frac{f(x_0+h)−2f(x_0)+f(x_0−h)}{h^2}-\frac{h^2}{12}f^{(4)}(\xi_1)\\ \end{aligned} \]

Elements of Numerical Integration

目标：近似计算 \(I=\int_a^bf(x)dx\) （即数值积分，Numerical Quadrature）

思路：使用 \(f(x)\) 的拉格朗日插值多项式——从区间 \([a,b]\) 上选择一组不同的点 \(a\leq x_0<x_1\cdots<x_n\leq b\)。拉格朗日多项式为 \(P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^nf(x_k)L_k(x)\)，因此：

\[ \int_a^bf(x)dx\approx\sum\limits_{k=0}^nf(x_k)\int_a^bL_k(x)dx \]

我们令 \(A_k=\int_a^bL_k(x)dx=\int_a^b\prod\limits_{j\neq k}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}dx\)，则误差 \(R[f]\) 为：

\[ \begin{aligned} R[f]&=\int_a^bf(x)dx-\sum\limits_{k=0}^nf(x_k)A_k\\ &=\int_a^b[f(x)-P_n(x)]dx=\int_a^bR_n(x)dx\\ &=\int_a^b\frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!}\prod\limits_{j=0}^n(x-x_j)dx\\ \end{aligned} \]

定义：求积公式的精度（Degree of Accuracy/Precision）为最大的正整数 \(n\)，使得公式对于每个 \(x^k(k=0,1,\cdots,n)\) 都是精确的

Example

考虑在 \([a,b]\) 上的线性插值，我们有 \(P_1(x)=\frac{x−b}{a−b}f(a)+\frac{x−a}{b−a}f(b)\)。可以得到：

  • \(A_1=A_2=\frac{b−a}{2}\)
  • \(\int_a^bf(x)dx\approx\frac{b−a}{2}[f(a)+f(b)]\)

请计算上述公式的精度

Answer

考虑 \(x^k(k=0,1,\cdots,n)\)：

  • \(x^0\)：\(\int_a^b1dx=b-a=\frac{b−a}{2}[1+1]\)
  • \(x^1\)：\(\int_a^bx dx=\frac{b^2-a^2}{2}=\frac{b−a}{2}[a+b]\)
  • \(x^2\)：\(\int_a^bx^2dx=\frac{b^3-a^3}{3}\neq\frac{b−a}{2}[a^2+b^2]\)

因此精度阶数为 1

Newton-Cotes Formula

对于等间距的节点：\(x_i=a+ih,h=\frac{b-a}{n},i=0,1,\cdots,n\)，我们有：

\[ \begin{aligned} A_i&=\int_{x_0}^{x_n}\prod\limits_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}dx=\int_0^n\prod\limits_{i\neq j}\frac{(t-j)h}{(i-j)h}\cdot hdt\\ &=\frac{(b-a)(-1)^{n-i}}{ni!(n-i)!}\int_0^n\prod\limits_{i\neq j}(t-j)dt\\ \end{aligned} \]
  • 科茨系数不取决于 \(f(x)\) 或 \([a,b]\)，而仅由 \(n,i\) 决定。因此我们可以从一张表中找出这些系数。上述公式称为牛顿 - 科茨公式（Newton-Cotes Formula）

Trapezoidal Rule

对于 \(n=1\)，我们有：

  • \(C_0^{(1)}=\frac{1}{2},C_1^{(1)}=\frac{1}{2}\)
  • \(\int_a^bf(x)dx\approx\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]\)（这被称为梯形法则，Trapezoidal Rule）
  • \(R[f]=\int_a^b​\frac{f''(\xi_x​)}{2!}​(x−a)(x−b)dx=−\frac{1}{12}​h^3f''(\xi),\xi\in [a,b],h=\frac{b-a}{1}\)
  • 精度阶数为 1

Simpson's Rule

对于 \(n=2\)，我们有：

  • \(C_0^{(2)}=\frac{1}{6},C_1^{(2)}=\frac{2}{3},C_2^{(2)}=\frac{1}{6}\)
  • \(\int_a^bf(x)dx\approx\frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)]\)（这被称为辛普森法则，Simpson's Rule）
  • \(R[f]=-\frac{1}{90}​h^5f^{(4)}(\xi),\xi\in [a,b],h=\frac{b-a}{2}\)
  • 精度阶数为 3

Simpson's ⅜ Rule

对于 \(n=3\)，我们有：

  • 精度阶数为 3
  • \(R[f]=-\frac{3}{80}h^5f^{(4)}(\xi),\xi\in [a,b],h=\frac{b-a}{3}\)

Cotes Rule

对于 \(n=4\)，我们有：

  • 精度阶数为 5
  • \(R[f]=-\frac{8}{945}h^7f^{(6)}(\xi),\xi\in [a,b],h=\frac{b-a}{4}\)

Theorem

对于使用 \(n+1\) 个点的牛顿-科茨公式，\(\exists\xi\in (a,b)\)，使得：

\[ \int_a^bf(x)dx=\sum\limits_{k=0}^nA_kf(x_k)+\frac{h^{n+3}f^{(n+2)}(\xi)}{(n+2)!}\int_0^nt^2(t-1)\cdots(t-n)dt \]
  • 如果 \(n\) 为偶数，那么 \(f\in C^{n+2}[a,b]\) 且 \(\int_a^bf(x)dx=\sum\limits_{k=0}^nA_kf(x_k)+\frac{h^{n+2}f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\int_0^nt(t−1)…(t−n)dt\)
  • 如果 \(n\) 为奇数，那么 \(f\in C^{n+1}[a,b]\)

Composite Numerical Integration

由于高次多项式的振荡性，这个过程在大的区间上是不精确的。为了解决这个问题，我们采用低阶 Newton-Cotes 的分段（Piecewise）方法

Composite Trapezoidal Rule

我们令 \(h=\frac{b-a}{n},x_i=a+kh,k=0,1,\cdots,n\)，我们在每一个小区间 \([x_{k-1},x_k]\) 上应用梯形法则：

\[ \begin{aligned} \int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)dx&\approx\frac{x_k-x_{k-1}}2[f(x_{k-1})+f(x_k)],k=1,...,n\\ \int_a^b f(x)dx&= \sum\limits_{i=0}^{n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx=\frac{h}{2}[f(a)+2\sum\limits_{j=1}^{n-1}f(x_j)+f(b)]=\color{blue}{T_n}\\ R[f]&=\sum\limits_{k=1}^n[-\frac{h^3}{12}f''(\xi_k)]=-\frac{h^2}{12}(b-a)\frac{\sum\limits_{k=1}^nf''(\xi_k)}{n}\\ &=\frac{h^2}{12}(b-a)f''(\xi),\xi\in [a,b] \end{aligned} \]

Composite Simpson's Rule

我们令 \(h=\frac{b-a}{n},x_i=a+kh,k=0,1,\cdots,n\)，我们在每一个小区间 \([x_{k-1},x_k]\) 上应用辛普森法则：

\[ \begin{aligned} \int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)dx&\approx\frac{h}{6}[f(x_k)+4f(x_{k+\frac{1}{2}})+f(x_{k+1})]\\ \int_a^bf(x)dx&\approx\frac{h}{6}[f(a)+4\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})+f(b)]=\color{blue}{S_n}\\ R[f]&=-\frac{b-a}{180}(\frac{h}{2})^4f^{(4)}(\xi),\xi\in [a,b]\\ \end{aligned} \]

Tips

为了简化表示，我们可以令 \(n'=2n\)，那么 \(h'=\frac{b-a}{n'}=\frac{h}{2},x_k=a+kh'\)，那么有：

\[ S_n=\frac{h'}{3}[f(a)+4\sum\limits_{\text{odd }k}f(x_k)+2\sum\limits_{\text{even }k}f(x_k)+f(b)] \]
  • 所有的复合积分方法共有的一个重要性质是舍入误差的稳定性

Proof

考虑在 \([a,b]\) 上的 \(n\) 个子区间，我们假设 \(f(x_i)\) 被估计为 \(f^*(x_i)\)，使得 \(f(x_i)=f^*(x_i)+\epsilon_i,i=0,1,\cdots,n\)，那么积累的误差 \(e(h)\) 为：

\[ e(h)=\bigg|\frac{h}{3}[\epsilon_0+4\sum\limits_{\text{odd }k}\epsilon_k+2\sum\limits_{\text{even }k}\epsilon_k+\epsilon_n]\bigg| \]

如果 \(|\epsilon_i|<\epsilon,i=0,1,\cdots,n\)，那么：

\[ e(h)<\frac{h}{3}[\epsilon+4(\frac{n}{2})\epsilon+2(\frac{n}{2}-1)\epsilon+\epsilon]=nh\epsilon=(b-a)\epsilon \]

可见，误差界与 \(h\) 和 \(n\) 无关。这说明即使将一个区间分成更多子区间，也不会增加舍入误差

Example

使用 \(n=8\) 的梯形法则和辛普森法则来估计 \(\pi=\int_0^1\frac{4}{1+x^2}dx\)

Answer
  • 梯形法则：\(T_8=\frac{1}{16}\big[f(0)+2\sum\limits_{k=1}^7f(x_k)+f(1)\big],x_k=\frac{k}{8}\)，最后算得 \(T_8=3.138988494\)
  • 辛普森法则：\(S_4=\frac{1}{24}\big[f(0)+4\sum\limits_{\text{odd }k}f(x_k)+2\sum\limits_{\text{even }k}f(x_k)+f(1)\big],x_k=\frac{k}{8}\)，最后算得 \(S_8=3.141592502\)

当我们编程的时候，我们通常会将子区间不断等分成更小的子区间，即我们取 \(n=2^k,k=0,1,\cdots\)

当 \(k=9\) 时，\(T_{512}=3.14159202,\frac{4}{3}T_8-\frac{1}{3}T_4=3.14159202=S_4\)

Romberg Integration

考虑到梯形法则的误差为 \(R_n[f]=-\frac{h^2}{12}(b-a)f''(\xi)\)，当我们将区间的长度减半时：

\[ R_{2n}[f]=-\big(\frac{h}{2}\big)^2\frac{1}{12}(b-a))f''(\xi)\approx\frac{1}{4}R_n[f] \]

得到：

\[ \begin{aligned} \frac{I-T_{2n}}{I-T_n}&\approx\frac{1}{4}\\ I\approx\frac{4T_{2n}-T_n}{4-1}&=\frac43T_{2n}-\frac13T_n=\color{blue}{S_n} \end{aligned} \]

同理，总体上，我们有：

\[ \frac{4T_{2n}-T_n}{4-1}= S_n, \frac{4^2S_{2n}-S_n}{4^2-1}=C_n, \frac{4^3C_{2n}-C_n}{4^3-1}=R_n, ... \]

其中的 \(R_n\) 即为 Romberg 积分

Richardson's Extrapolation

目标：使用低阶公式产生高精度的结果

假设对于某些 \(h\neq 0\)，我们用 \(T_0(h)\) 来近似估计 \(I\)，使得最后的误差形式为 \(T_0(h)-I=\alpha_1h+\alpha_2h^2+\alpha_3h^3+\cdots\)

如果我们将 \(h\) 换成 \(\frac{h}{2}\)，那么我们有 \(T_0(\frac{h}{2})-I=\alpha_1(\frac{h}{2})+\alpha_2(\frac{h}{2})^2+\alpha_3(\frac{h}{2})^3+\cdots\)

How to improve the accuracy from \(O(h)\) to \(O(h^2)\) ?
\[ \begin{aligned} \frac{2T_0(\frac{h}{2})-T_0(h)}{2-1}&=-\frac{1}{2}\alpha_2h^2-\frac{3}{4}\alpha_3h^3-\cdots\\ T_1(h)&=\frac{2T_0(\frac{h}{2})-T_0(h)}{2-1}=I+\beta_1h^2+\beta_2h^3+\cdots\\ T_2(h)&=\frac{2^2T_1(\frac{h}{2})-T_1(h)}{2^2-1}=I+\gamma_1h^3+\gamma_2h^4+\cdots\\ \Rightarrow T_m(h)&=\frac{2^mT_{m-1}(\frac{h}{2})-T_{m-1}(h)}{2^m-1}=I+\delta_1h^{m+1}+\delta_2h^{m+2}+\cdots\\ \end{aligned} \]

Adaptive Quadrature Method

自适应积分方法的主要思想就是预测函数变化的大小，使步长适应变化的需求，而不是我们之前所提到的将步长不断二分，在误差比较大的地方使用更小的步长，在误差比较小的地方使用更大的步长，减少一些计算量

误差大小该如何定量判断？

一种简单的方法是对于总误差为 \(\epsilon\) 的积分 \(\int_a^bf(x)dx\)，长度为 \(h\) 的步长，如果当前步长求得的误差大于 \(h\frac{\epsilon}{b-a}\)，那么称其误差比较大，需要减小步长

Example

用自适应的辛普森法则来计算 \(\epsilon(f,a,b)\approx\int_a^bf(x)dx-S(a,b)=\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi)\)，其中 \(S(a,b)=\frac{h}{3}[f(a)+4f(a+h)+f(b)],h=\frac{b-a}{2},\xi\in [a,b]\)

我们有：

\[ \begin{aligned} \int_a^{\frac{a+b}{2}}f(x)dx=S(a,\frac{a+b}{2})&+\frac{(\frac{h}{2})^5}{90}f^{(4)}(\xi_1)\\ \int_{\frac{a+b}{2}}^bf(x)dx=S(\frac{a+b}{2},b)&+\frac{(\frac{h}{2})^5}{90}f^{(4)}(\xi_2)\\ \therefore\int_a^bf(x)dx=S(a,\frac{a+b}{2})&+S(\frac{a+b}{2},b)+\frac{1}{16}\times\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\eta)\\ |\int_a^bf(x)dx-S(a,\frac{a+b}{2})&-S(\frac{a+b}{2},b)|\\\approx\frac{1}{15}|S(a,b)-S(a,\frac{a+b}{2})&-S(\frac{a+b}{2},b)|<\epsilon \end{aligned} \]

可以看到，\(S(a,\frac{a+b}{2})+S(\frac{a+b}{2},b)\) 逼近 \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\) 的效果比 \(S(a,\frac{a+b}{2})+S(\frac{a+b}{2},b)\) 逼近 \(S(a,b)\) 好 15 倍

Gaussian Quadrature

目标：构造一个公式 \(\int_a^bw(x)f(x)dx\approx\sum\limits_{k=0}^nA_kf(x_k)\)，对于 \(n+1\) 个点而言精度为 \(2n+1\)

思路：确定 \(2n+2\) 个未知量 \(x_0,\cdots,x_n; A_0,\cdots,A_n\)，使得公式在 \(f(x)=1,x,x^2,\cdots,x^{2n+1}\) 上都是精确的。点 \(x_0,\cdots,x_n\) 被称为高斯点（Gaussian Points），这个方法被称为高斯求积（Gaussian Quadrature）

Example

使用 \(n=1\) 的高斯求积来估计 \(\int_0^1\sqrt{x}f(x)dx\)

Answer

精度为3，需满足 \(f(x)=1,x,x^2,x^3\)。

设 \(\int_{-1}^1 \sqrt{x}f(x)\mathrm{d}x \approx A_0f(x_0)+A_1f(x_1)\)，则

\[ \begin{cases} \int_{-1}^1 \sqrt{x}\mathrm{d}x = \frac{2}{3} = A_0+A_1 \\ \int_{-1}^1 \sqrt{x}x\mathrm{d}x = \frac{2}{5} = A_0x_0+A_1x_1 \\ \int_{-1}^1 \sqrt{x}x^2\mathrm{d}x = \frac{2}{7} = A_0x_0^2+A_1x_1^2 \\ \int_{-1}^1 \sqrt{x}x^3\mathrm{d}x = \frac{2}{9} = A_0x_0^3+A_1x_1^3 \\ \end{cases} \]

解得 \(x_0\approx 0.8212,x_1\approx 0.2899, A_0\approx0.3891, A_1\approx 0.2776\)

但是，求解非线性方程组是很困难的，所以我们采用另一种方法，我们有如下定理：

Theorem

当且仅当 \(W(x)=\prod_{k=0}^n(x−x_k)\) 与所有阶数不超过 \(n\) 的多项式正交时，\(x_0,\cdots,x_n\)​ 是高斯点

Proof
  • 若 \(x_0,\cdots,x_n\) 是高斯点，则公式 \(\int_a^bw(x)f(x)dx\approx\sum\limits_{k=0}^nA_kf(x_k)\) 的精度至少为 \(2n+1\)。那么对于任意多项式 \(P_m(x)(m\leq n)\)，\(P_m(x)W(x)\) 的阶数不超过 \(2n+1\)。因此上述公式对于 \(P_m(x)W(x)\) 而言是精确的，也就是说：
\[ \int_a^bw(x)P_m(x)W(x)dx=\sum\limits_{k=0}^nA_kP_m(x_k)W(x_k)=0 \]
  • 要证明 \(x_0,\cdots,x_n\) 是高斯点，我们需要证明公式对任意多项式 \(P_m(x)(m\leq 2n+1)\) 是精确的。令 \(P_m(x)=W(x)q(x)+r(x)\)，那么 \(\int_a^nw(x)P_m(x)dx=\int_a^nw(x) W(x)q(x)dx+\int_a^nw(x)r(x)dx=\sum\limits_{k=0}^nA_kr(x_k)=\sum\limits_{k=0}^nA_kP_m(x_k)\)

根据定理我们就是要找到一个正交多项式，它的零点就是我们要找的节点，正交多项式的集合 \(\{\varphi_0,\varphi_1,\cdots,\varphi_n,\cdots\}\) 是线性独立的，且 \(\varphi_{n+1}\)​ 和任何多项式 \(P_m(x)(m\leq n)\) 正交。所以，如果我们拿 \(\varphi_{n+1}​\) 作为 \(W(x)\)，那么 \(\varphi_{n+1}\)​ 的根就是高斯点了

Example

回到我们上面的这个例子，我们就是要找到一个二阶多项式，其与小于二次的多项式的内积为 0

我们构造正交多项式 \(\varphi_2\)，令 \(\varphi_0(x)=1,\varphi_1(x)=x+a,\varphi_2(x)=x^2+bx+c\)，那么我们有：

  • \((\varphi_0,\varphi_1)=0\Rightarrow\int_0^1\sqrt{x}(x+a)dx=0\Rightarrow a=-\frac{3}{5}\)
  • \((\varphi_0,\varphi_2)=0\Rightarrow\int_0^1\sqrt{x}(x^2+bx+c)dx=0,(\varphi_1,\varphi_2)=0\Rightarrow\int_0^1\sqrt{x}(x-\frac{3}{5})(x^2+bx+c)dx=0\)，解得 \(b=-\frac{10}{9},c=\frac{5}{21}\)

所以最后 \(\varphi_2(x)=x^2-\frac{10}{9}x+\frac{5}{21}\)，我们可以求出它的根 \(x_{0,1}=\frac{\frac{10}{9}\pm\sqrt{(\frac{10}{9})^2-\frac{20}{21}}}{2}\)

因为这个公式必须在 \(f(x)=1,x\) 上是精确的，所以我们能比较容易地求解 \(A_0​,A_1\)​ 的线性方程组

结果和我们之前得到的是一样的：\(x_0\approx 0.8212,x_1\approx 0.2899, A_0\approx 0.3891, A_1\approx 0.2776\)

我们使用上面的结果来估计 \(\int_0^1\sqrt{x}e^xdx\)：\(\int_0^1 \sqrt{x} f(x) dx \approx A_0 e^{x_0} + A_1 e^{x_1} = 0.3891 \times e^{0.8212} + 0.2776 \times e^{0.2899} \approx 1.2555\)

如果我们使用上面的结果来估计 \(\int_0^1 \sqrt{x} (2x-1) dx\)，得到的结果为 \(\frac{2}{15}\)，是精确的

一些特殊的正交多项式：

  • 勒让德多项式（Legendre Polynomials）：定义在 \([−1,1]\) 上且 \(w(x)\equiv 1\)
\[ \begin{aligned} P_k(x)&=\frac{1}{2^kk!}\frac{d^k}{dk}(x^2−1)^k\\ (P_k,P_l)&=\begin{cases} 0 & k\neq l\\ \frac{2}{2k+1} & k=l \end{cases} \end{aligned} \]

其中 \(P_0=1,P_1=x,(k+1)P_{k+1}=(2k+1)xP_k-kP_{k-1}\)，我们称使用 \(P_{n+1}\)​ 的根的公式称为高斯-勒让德求积公式

  • 切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials）：定义在 \([−1,1]\) 上且 \(w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\[ T_k(x)=\cos(k\arccos(x)) \]

\(T_{n+1}\) 的根为 \(x_k=\cos(\frac{2k+1}{2n+2}\pi),k=0,1,\cdots,n\)，公式 \(\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}f(x)dx=\sum\limits_{k=0}^nA_kf(x_k)\) 被称为高斯-切比雪夫求积公式

评论