跳转至

Chapter 08 : 差分方程模型

差分

设 \(y(n)=y_n\)，是依赖于整数变量 \(n=0,\pm 1,\pm 2,⋯\) 的函数，则称 \(\Delta y(n)=y(n+1)−y(n)\) 为 \(y(n)\) 的一阶差分，\(\Delta^2y(n)=\Delta[\Delta y(n)]=\Delta y(n+1)−\Delta y(n)\) 为 \(y(n)\) 的二阶差分，以此类推，\(\Delta^ky(n)\) 为 \(y(n)\) 的 \(k\)  阶差分。

差分方程

差分方程本质上就是数列的递推

  • 含有未知函数的有限差分的方程称为差分方程：\(F(n,y_n,\Delta y_n,\Delta^2y_n,⋯,\Delta^ky_n)=0\)

如果将 \(\Delta y_n\) 等同于 \(y_{n+1}−y_n\)，将 \(\Delta^2y_n\) 等同于 \(y_{n+2}−2y_{n+1}+y_n\)，以此类推，将 \(\Delta^ky_n\) 等同于 \(y_{n+k}−ky_{n+k−1}+⋯+(−1)^ky_n\)，则上式可写成 \(F(n,y_n,y_{n+1},⋯,y_{n+k})=0\)

  • m 阶线性差分方程表示为：\(a_m(n)y_{n+m}+a_{m−1}(n)y_{n+m−1}+⋯+a_1(n)y_{n+1}+a_0(n)y_n=f_n\)

  • 齐次：\(f_n=0\)

  • 常系数：\(a_i(n)=a_i(i=0,1,...,m)\)

二阶线性常系数齐次差分方程的解

  • 二阶线性常系数齐次差分方程表示为 \(x_{n+2}+a_1x_{n+1}+a_2x_n=0\)

若 \(x_n=f(n)\) 是差分方程的解，则 \(x_n=cf(n)\) 也是差分方程的解；若 \(x_n=f(n)\) 和 \(x_n=g(n)\) 都是差分方程的解，则 \(x_n=f(n)+g(n)\) 也是差分方程的解。

  • 若 \(x_n=\lambda^n\) 是差分方程的解，则 \(\lambda^{n+2}+a_1\lambda^{n+1}+a_2\lambda^n=0\)，即（计算非零解）\(\lambda^2+a_1\lambda+a_2=0\)
    • 这被称为差分方程的特征方程，它的根称为差分方程的特征根
    • 若特征方程有两个不同的实根 \(\lambda_1\) 和 \(\lambda_2\)，则 \(x_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n\) 是差分方程的解
      • 若 \(c_1,c_2\not=0,\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=0\) 当且仅当 \(|\lambda_1|<1,|\lambda_2|<1\)
    • 若特征方程有两个相等的实根 \(\lambda\)，则 \(x_n=c_1\lambda^n+c_2n\lambda^n\) 是差分方程的解
      • \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=0\) 当且仅当 \(|\lambda|<1\)

生态学

生态学（Ecology）是研究生物与环境及生物与生物之间相互关系的生物学分支学科。其主要研究对象为：

  • 种群（Population）：同种生物在一定空间范围内同时生活着所有个体的集群
  • 生物群落（Biological Community）：生活在一定生境中全部物种及其相互作用、彼此影响所构成的整体
  • 生态系统（Ecosystem）：一定空间中的生物群落与其环境组成的系统，其中各成员借助能流和物质循环，形成一个有组织的功能复合体

种群动态（Population Dynamics） 表示种群的消长以及种群消长与种群参数（如出生、死亡、迁入、迁出等）间的数量关系

离散单种种群模型

  • 假设现实种群只由一个世代构成，相继世代之间没有重叠，那么每一代的个体数量只与上一代的个体数量有关，这样的种群称为单种种群（Single-Species Population）
  • 记 \(x_n\) 为第 \(n\) 代个体数量，数列 \(\{x_n\}\) 满足递推关系式：\(x_{n+1}=f(x_n)\)

指数增长模型

  • 每一代个体繁殖的个体数量与该代个体数量之比是一个常数
  • \(\frac{x_{n+1}}{x_n}=r\)，可以得到 \(x_n=r^nx_0\)，其中，r 为增长率（Growth Rate），\(x_0\) 为初始个体数量
    • 若 \(0\leq r<1,x_n\) 单调递减趋于 0；若 \(r>1,x_n\) 单调递增趋于 \(+\infty\)

指数增长模型不适于描述较长时期的人口演变过程，但某地一个较短时间内的人口统计数据可能符合指数增长模型

Logistic 模型

考虑到种群的增长受到环境的限制，即种群的增长率随种群数量的增加而减小，因此，种群的增长率应该是种群数量的函数，即 \(x_{n+1}=f(x_n)=x_n+rx_n(1−\frac{x_n}{K})\)，或者 \(\frac{\Delta x_n}{x_n}=r(1−\frac{x_n}{K})\)

其中，\(K\) 为环境承载量（Carrying Capacity），\(r(\geq −1)\) 为内禀增长率（Innate Rate Of Increase）

平衡点

差分方程的平衡点是指满足 \(x_{n+1}=x_n\) 的点，即满足 \(f(x^∗)=x^∗\) 的点，其中 \(x^∗\) 为平衡点

若只要初始点 \(x_0\) 与平衡点 \(x^∗\) 充分接近，即有 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x^∗\)，则称平衡点 \(x^∗\) 渐近稳定（Asymptotically Stable）

渐进稳定的判别：

渐进稳定 不稳定
\(\|f'(x^*)\|<1\) \(\|f'(x^*)\|>1\)
\(f'(x^*)=1\) \(f''(x^*)=0\) 且 \(f'''(x^*)<0\) \(f''(x^*)\not=0\) 且 \(f'''(x^*)>0\)
\(f'(x^*)=-1\) \(-2f'''(x^*)<3(f'''(x^*))^2\) \(-2f'''(x^*)>3(f'''(x^*))^2\)

考察 Logistic 模型的渐近稳定性，即考察 \(x_{n+1}=x_n+rx_n(1−\frac{x_n}{K})\) 的平衡点 \(x^∗\) 的渐近稳定性。取 \(f(x)=(1+r)x−\frac{r}{K}x_2\)

\(f(x)=x\) 的解为 \(x=0\) 和 \(x=K\)，所以平衡点为 \(x_1^∗=0\) 和 \(x_1^∗=K\)

\(f'(x)=1+r−\frac{2r}{K}x\)，所以 \(f'(0)=1+r,f'(K)=1−r\)

  • 当 \(−1\leq r<0\) 时，\(|f'(0)|<1,|f'(K)|>1\)，所以 \(x_1^∗=0\) 渐进稳定，\(x_1^∗=K\) 不稳定
  • 当 \(0<r\leq 2\) 时，\(|f'(0)|>1,|f'(K)|<1\)，所以 \(x_1^∗=0\) 不稳定，\(x_1^∗=K\) 渐进稳定
  • 当 \(r>2\) 时，\(|f'(0)|>1,|f'(K)|>1\)，所以 \(x_1^∗=0\) 不稳定，\(x_1^∗=K\) 不稳定

周期点

\(r>2\) 时，我们会得到这样的结果：

差分方程 \(x_{n+1}=f(x_n)\) 的周期点是指满足 \(f_k(x^∗)=x^∗\) 的点，其中 \(k\) 为正整数，\(x^∗\) 为 \(k\) 周期点。这里 \(f_k(x)\) 定义：\(f_k(x)=f(f_{k−1}(x)),f_1(x)=f(x)\)

  • 差分方程 \(x_{n+1}=f(x_n)\) 的 \(k\) 周期点即为差分方程 \(x_{n+1}=f_k(x_n)\) 的平衡点，前者的渐进稳定性也由后者决定

Logistic 模型的 2-周期点

我们有 \(f(x)=(1+r)x−\frac{r}{K}x^2\)，且：

\[ \begin{aligned} f_2(x)=f(f(x))&=(1+r)((1+r)x−\frac{r}{K}x^2)−\frac{r}{K}((1+r)x−\frac{r}{K}x^2)^2\\ &=(1+r)^2x−\frac{r(1+r)(2+r)}{K}x^2+\frac{2r^2}{K^2}(1+r)x^3−\frac{r^3}{K^3}x^4 \end{aligned} \]

因为我们要找的是 2-周期点，所以我们要求解 \(x=f_2(x)\)，即

\[ \begin{aligned} x&=(1+r)^2x−\frac{r(1+r)(2+r)}{K}x^2+\frac{2r^2}{K^2}(1+r)x^3−\frac{r^3}{K^3}x^4\\ &\Rightarrow x(\frac{x}{K}−1)(r^2(\frac{x}{K})^2−r(r+2)\frac{x}{K}+(r+2))=0\\ &\Rightarrow x_+=\frac{(r+2)+\sqrt{r^2−4}}{2r}K,x_−=\frac{(r+2)−\sqrt{r^2−4}}{2r}K \end{aligned} \]

所以，根据 2-周期点的性质，我们有 \(f(f(x_+))=x_+\)，两边再作用 \(f\)，我们有 \(f(f(f(x_+)))=f(x_+)\)，所以 \(f(x_+)\) 也是 2-周期点，又由于我们只有两个 2-周期点，且 \(x_+\) 不是平衡点，所以 \(f(x_+)=x_−\)。同理，我们有 \(f(x_−)=x_+\)。

稳定性分析

判断 \(|f_2'(x)|\) 是否小于 1，即判断 \(|f'(x_+)|\) 和 |\(f'(x_−)|\) 是否小于 1。

\[ \begin{aligned} f_2'(x_+)&=f'(f(x_+))f'(x_+)=f'(x_−)f'(x_+)=((1+r)−\frac{2r}{K}x_−)((1+r)−\frac{2r}{K}x_+)\\ &=(1+r)^2−\frac{2r(1+r)}{K}(x_++x_−)+\frac{4r^2}{K^2}x_+x_−\\ &=(1+r)^2−\frac{2r(1+r)}{K}\frac{r(r+2)K}{r^2}+\frac{4r^2}{K^2}\frac{(r+2)K^2}{r^2}\\ &=(1+r)^2−2(1+r)(r+2)+4(r+2)=5−r^2 \end{aligned} \]

同理，我们有 \(f_2'(x_−)=5−r^2\)。

所以，当 \(2<r<\sqrt{6}\) 时，\(|f_2'(x_+)|<1,|f_2'(x_-)|<1\)，此时 2-周期点是渐进稳定的。

混沌

Li-Yorke 定理

  • 若实数轴一区间到其自身的连续函数，有一个 3−周期点，则对任意正整数 \(k\)，\(f\) 有一个 k−周期点
  • 存在不可数个初始点，函数从这些点出发的迭代点序列之最终走向将是杂乱无章，无规律可循

Sharkovsky 定理

  • 任意正整数 \(n\) 可唯一表示成 \(n=2^s(2p+1)\)，其中 \(s,p\in N\)。所有正整数可据此排列，称为 \(S\) 型排序
  • 若实数轴一区间到其自身的连续函数 \(f\) 具有 k−周期点，在正整数 \(S\) 型排序中，\(k\) 先于 \(m\)，则 \(f\) 必有 m−周期点

评论