Homework 11¶

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4.3.7¶

由 Trapezoidal Rule 条件可得 \(\int_a^b f(x)dx\approx\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]\Rightarrow f(0)+f(2)=4\)

由 Simpson's Rule 条件可得 \(\int_a^b f(x)dx\approx\frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)]\Rightarrow f(0)+4f(1)+f(2)=6\)

解得 \(f(1)=\frac{1}{2}\)

对于 \(f(x)=x^0\)：\(\int_{-1}^1 1dx=2=1+1\)

对于 \(f(x)=x^1\)：\(\int_{-1}^1 xdx=0=-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}\)

对于 \(f(x)=x^2\)：\(\int_{-1}^1x^2dx=\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\)

对于 \(f(x)=x^3\)：\(\int_{-1}^1x^3dx=0=-\frac{\sqrt{3}}{9}+\frac{\sqrt{3}}{9}\)

对于 \(f(x)=x^4\)：\(\int_{-1}^1x^4dx=\frac{2}{5}\neq\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\)

所以精度为 3

因为满足精度小于等于 2 的情况，所以有方程式：

\[ \begin{cases} 2=c_0+c_1+c_2\\ 0=-c_0+c_2\\ \frac{2}{3}=c_0+c_2 \end{cases} \]

解得 \(c_0=\frac{1}{3},c_1=\frac{4}{3},c_2=\frac{1}{3}\)

有三个未知数，我们取到精度为 2 构造三个方程：

\[ \begin{cases} 1=c_0+c_1\\ \frac{1}{2}=c_1x_1\\ \frac{1}{3}=c_1x_1^2 \end{cases} \]

解得 \(c_0=\frac{1}{4},c_1=\frac{3}{4},x_1=\frac{2}{3}\)