Chapter 09: Relations¶

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Relations and Their Properties¶

Binary Relation¶

设 $A$ 和 $B$ 是集合，一个从 $A$ 到 $B$ 的二元关系（Binary Relation）是 $A \times B$ 的子集。更一般地，设 $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{n}$ 是集合，一个关于 $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{n}$ 的 $n$ 元关系是 $A_{1} \times A_{2} \times . . . \times A_{n}$ 的子集。

Relations On A Set¶

集合 $A$ 上的关系是从 $A$ 到 $A$ 的关系。

可以用一个 $m \times n$ 的连接矩阵 $M_{R} = [m_{i j}]$ 来表示集合 $A = {a_{1}, a_{2}, . . ., a_{m}}$ 和 $B = {b_{1}, b_{2}, . . ., b_{n}}$ 之间的关系，其中 $m_{i j} = {\begin{cases} 1, (a_{i}, b_{j}) \in R \\ 0, (a_{i}, b_{j}) \notin R \end{cases}$

e.g.

Properties of Binary Relations¶

自反性（Reflexive Relations）：若 $\forall x (x \in A \to (x, x) \in R)$ ，那么定义在集合 $A$ 上的关系 $R$ 称为自反的。
反自反性（Irreflexive Relations）：若 $\forall x (x \in A \to (x, x) \notin R)$ ，那么定义在集合 $A$ 上的关系 $R$ 称为反自反的。
对称性（Symmetric Relations）：若 $\forall x \forall y ((x, y) \in R \to (y, x) \in R)$ ，那么定义在集合 $A$ 上的关系 $R$ 称为对称的。
反对称性（Antisymmetric Relations）：若 $\forall x \forall y ((x, y) \in R \land (y, x) \in R \to x = y)$ ，那么定义在集合 $A$ 上的关系 $R$ 称为反对称的。
传递性（Transitive Relations）：若 $\forall x \forall y \forall z ((x, y) \in R \land (y, z) \in R \to (x, z) \in R)$ ，那么定义在集合 $A$ 上的关系 $R$ 称为传递的。

Combining Relations¶

设 $A = {a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}}, B = {b_{1}, b_{2}, . . ., b_{m}} ， M_{R_{1}} = [c_{i j}], M_{R_{2}} = [d_{i j}]$ ，通过连接矩阵来表示：

$M_{R_{1} ⋃ R_{2}} = [c_{i j} \lor d_{i j}] = M_{R_{1}} \lor M_{R_{2}}$
$M_{R_{1} ⋂ R_{2}} = [c_{i j} \land d_{i j}] = M_{R_{1}} \land M_{R_{2}}$
$M_{\overset{―}{R_{1}}} = [\overset{―}{c_{i j}}]$
$M_{R_{1} - R_{2}} = M_{R_{1} ⋂ \overset{―}{R_{2}}} = [c_{i j} \land \overset{―}{d_{i j}}]$

设 $R$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的关系， $S$ 是从集合 $B$ 到集合 $C$ 的关系。 $R$ 与 $S$ 的合成是由有序对 $(a, c)$ 的集合构成的关系，其中 $a \in A, c \in C$ ，并且存在一个 $b \in B$ 的元素，使得 $(a, b) \in R$ 且 $(b, c) \in S$ 。我们用 $S \circ R$ 表示 $R$ 与 $S$ 的合成。 $M_{R \circ S} = M_{S} \times M_{R}$

The Power of a relation R¶

设 $R$ 是集合 $A$ 上的关系。 $R$ 的 $n$ 次幂 $R^{n} (n = 1, 2, 3, . . .)$ 递归地定义为 $R^{1} = R$ 和 $R^{n + 1} = R^{n} \circ R$

定理：集合 $A$ 上的关系 $R$ 是传递的，当且仅当对 $n = 1, 2, 3, . . .$ 有 $R^{n} \subseteq R$

Inverse Relation¶

设 $R$ 是从 $A$ 到 $B$ 的关系，那么其逆关系 $R^{- 1} / R^{c} = {(b, a) | (a, b) \in R, a \in A, b \in B}$

逆关系具有如下性质：

$(R ⋃ S)^{- 1} = R^{- 1} ⋃ S^{- 1}$
$(R ⋂ S)^{- 1} = R^{- 1} ⋂ S^{- 1}$
${\overset{―}{R}}^{- 1} = \overset{―}{R^{- 1}}$
$(R - S)^{- 1} = R^{- 1} - S^{- 1}$
$(A \times B)^{- 1} = B \times A$
$\overset{―}{R} = A \times B - R$
$(S \circ T)^{- 1} = T^{- 1} \circ S^{- 1}$
$(R \circ T) \circ P = R \circ (T \circ P)$
$(R ⋃ S) \circ T = R \circ T ⋃ S \circ T$

n-ary Relations and Their Applications¶

Representing Relations¶

Closures of Relations¶

What Is Closures of Relations¶

定义：设 $R$ 是集合 $A$ 上的关系，关系 $R$ 具有性质 $P$ 的闭包（Closure）即为集合 $A$ 上包含 $R$ 的具有性质 $P$ 的关系 $S$ ，并且 $S$ 是每一个包含 $R$ 的具有性质 $P$ 的 $A \times A$ 的子集。（简单理解即为 $R$ 的具有性质 $P$ 的闭包就是把 $R$ 与满足性质 $P$ 的关系的集合取并）

Reflexive Closure¶

定义：设 $R$ 是集合 $A$ 上的关系，那么 $R$ 的自反闭包（Reflexive Closure），记为 $r (R)$ ，是 $R ⋃ I_{A}$ （其中 $I_{A}$ 即为 $A$ 的对角关系， $I_{A} = {(x, x) | x \in A}$ ）

$R = R ⋃ I_{A} \Leftrightarrow R$ 是一个自反闭包

e.g. $R = {(a, b) | a < b, a, b \in Z}$ ，求 $R$ 的自反闭包。

Symmetric Closure¶

定义：设 $R$ 是集合 $A$ 上的关系，那么 $R$ 的对称闭包（Symmetric Closure），记为 $s (R)$ ，是 $R ⋃ R^{- 1}$ 。

$R = R ⋃ R^{- 1} \Leftrightarrow R$ 是一个对称闭包

Transitive Closure¶

定义：设 $R$ 是集合 $A$ 上的关系，那么 $R$ 的传递闭包（Transitive Closure），记为 $t (R)$ ，满足 $\forall a \in A \forall b \in A a$ 可达 $b \to (a, b) \in R$

定理：设 $R$ 是集合 $A$ 上的关系，那么存在一条 $a$ 到 $b$ 长度为 $n$ 的路径 $\Leftrightarrow (a, b) \in R^{n}$ 。

Connectivity Relation¶

定义：连通关系（Connectivity Relation）即为一个有序对 $(a, b)$ 的集合，满足在 $R$ 中存在一个 $a$ 到 $b$ 的道路，记为 $R^{*}$ 。

定理：

$t (R) = R^{*}$
如果 $| A | = n$ ，那么任何长度大于 $n$ 的道路一定含有回环。
如果 $| A | = n$ ， $R$ 是集合 $A$ 上的关系，那么 $\exists k, k \leq n, R^{*} = R ⋃ R^{2} ⋃ . . . ⋃ R^{k}, t (R) = R^{*} = R ⋃ R^{2} ⋃ . . . ⋃ R^{n}$
$M_{t (R)} = M_{R} \lor M_{R}^{[2]} \lor . . . \lor M_{R}^{[n]}$

Warshall's Algorithm¶

内部顶点：对于一条从 $a$ 到 $b$ 的路径，除了起点 $a$ 和终点 $b$ 出现在路径中的所有顶点。

沃舍尔算法（Warshall's Algorithm）：构造一系列 0-1 矩阵 $W_{0}, W_{1}, . . ., W_{n}$ ，其中 $W_{0} = M_{R}, W_{k} = [ω_{i j}^{(k)}]$ ，其中如果存在一条从 $v_{i}$ 到 $v_{j}$ 的路径使得这条路径的所有内部顶点都在集合 ${v_{1}, v_{2}, . . ., v_{k}}$ （前 $k$ 个顶点）中，那么 $ω_{i j}^{(k)} = 1$ ，否则为 0（这条路径的起点和终点可能在集合之外），由定义可知 $W_{n} = M_{t (R)}$

引理： $ω_{i j}^{[k]} = ω_{i j}^{[k - 1]} \lor (ω_{i k}^{[k - 1]} \land ω_{k j}^{[k - 1]})$

Equivalence Relations¶

如果一个定义在集合 $A$ 上的关系 $R$ 是自反的、对称的和传递的，那么称关系 $R$ 是等价关系（Equivalence Relations）。若两个元素 $a$ 和 $b$ 通过等价关系而关联，则称它们是等价的，记为 $a$ ~ $b$ 。

Equivalence Class¶

设 $R$ 是定义在集合 $A$ 上的等价关系，与 $A$ 中其中一个元素 $a$ 有关系的所有元素的集合叫作 $a$ 的等价类（Equivalence Class），记作 $[a]_{R} / [a]$ ，由定义 $[a]_{R} = {s | (a, s) \in R}$ ，如果 $b \in [a]_{R}$ ，那么称 $b$ 为等价类的代表。

e.g. 模 3 同余的关系 $R = {(a, b) | a \equiv b (m o d 3), a, b \in Z}$ ，证明其是一个等价关系并指出其等价类。

Partition of a Set¶

令 ${A_{1}, A_{2}, . . .}$ 是 $A$ 的子集的组合。那么这个组合被称为 $A$ 的划分（Partition，记作 $p r (A)$ ）当且仅当：

$A_{i} \neq ϕ, i \in Z$
$A_{i} ⋂ A_{j} = ϕ, i \neq j$
$\forall a \in A, \exists i, a \in A_{i} (i = 1, 2, . . .)$

Equivalence Classes and Partitions¶

令 $R$ 是一个集合 $A$ 上的等价关系，定理：

$a R b \Leftrightarrow [a] = [b] \Leftrightarrow [a] ⋂ [b] \neq ϕ$
$R$ 的等价类是 $A$ 的划分。反过来说，如果给定一个 $A$ 的划分 ${A_{i} | i \in I}$ ，那么一定有一个对应的等价关系 $R$ ，使得其等价类为这个划分。

The Operations of Equivalence Relations¶

如果 $R_{1}, R_{2}$ 是 $A$ 的等价关系，定理：

$R_{1} ⋂ R_{2}$ 也是 $A$ 的等价关系。
$R_{1} ⋃ R_{2}$ 是 $A$ 的对称和自反关系。
$(R_{1} ⋃ R_{2})^{*}$ 也是 $A$ 的等价关系。

Partial Orderings¶

令 $R$ 是集合 $S$ 上的关系，如果 $R$ 是自反的、反对称的、传递的，那么称 $R$ 为偏序（Partial Ordering/Partial Order），记为 $(S, R)$ 。用记号 $a ≼ b$ 来表示 $(a, b) \in R$ ， $a ≺ b$ 表示 $(a, b) \in R, a \neq b$ ， $≼$ 表示所有的偏序， $(S, ≼)$ 表示所有的偏序集。

设偏序集 $(S, ≼)$ 中的元素 $a, b$ ，如果 $a ≼ b$ 或 $b ≼ a$ ，那么称 $a$ 和 $b$ 是可比的（Comparable）；否则为不可比的（Incomparable）。

如果 $(S, ≼)$ 是偏序集，且 $S$ 中的每对元素都是可比的，则 $S$ 称为全序集或线序集（Totally Ordered Set/Linearly Ordered Set）， $≼$ 被称为全序或线序（Total Order/Linear Order），一个全序集也被称为链。

对于偏序集 $(S, ≼)$ ，如果 $≼$ 是全序，并且 $S$ 的每个非空子集都有一个最小元素，就称其为良序集（Well-Ordered Set）。

良序归纳原理：设 $S$ 是一个良序集。归纳步骤：对所有 $y \in S$ ，如果 $P (x)$ 对所有 $x \in S$ 且 $x ≺ y$ 为真， $P (y)$ 为真，结论为 $P (x)$ 对所有 $x \in S$ 为真

Lexicographic Order¶

对于两个偏序集 $(A_{1}, ≼_{1})$ 和 $(A_{2}, ≼_{2})$ ，那么在 $A_{1} \times A_{2}$ 上的字典顺序（Lexicographic Order） $≺$ 定义为： $(a_{1}, a_{2}) ≺ (b_{1}, b_{2}) \Leftrightarrow (a_{1} ≺_{1} b_{1}) \lor ((a_{1} = b_{1}) \land (a_{2} ≺_{2} b_{2}))$

Hasse diagrams¶

Chain and Antichain¶

设 $(A, ≼)$ 是一个偏序集， $B \subseteq A$ ，如果 $(B, ≼)$ 是一个全序集，那么 $B$ 被称为 $(A, ≼)$ 的链（Chain），链的长度为 $| B |$ ；如果 $B \subseteq A$ ， $\forall a, b \in B (a \neq b), (a, b) \notin R, (b, a) \notin R$ ，那么 $B$ 被称为 $(A, ≼)$ 的反链（Antichain）。

Maximal and Minimal Elements¶

设 $(A, ≼)$ 是一个偏序集，如果不存在 $b \in A$ 使得 $a ≺ b$ ，那么 $a$ 在偏序集 $(A, ≼)$ 中是极大元（Maximal Elements）；如果不存在 $b \in A$ 使得 $b ≺ a$ ，那么 $a$ 在偏序集 $(A, ≼)$ 中是极小元（Minimal Elements）

Greatest and Least Element¶

设 $(A, ≼)$ 是一个偏序集，如果对所有的 $b \in A$ 有 $b ≼ a$ ，那么 $a$ 在偏序集 $(A, ≼)$ 中是最大元（Greatest Elements）；如果对所有的 $b \in A$ 有 $a ≼ b$ ，那么 $a$ 在偏序集 $(A, ≼)$ 中是最小元（Least Elements）

定理：当最大/最小元存在时，它是唯一的。

Upper and Lower Bounds¶

设 $A$ 是 $S$ 的一个子集，如果 $u$ 是 $S$ 中的元素，使得对所有的元素 $a \in A$ 有 $a ≼ u$ ，那么 $u$ 被称为 $A$ 的一个上界（Upper Bounds）；如果 $u$ 是 $S$ 中的元素，使得对所有的元素 $a \in A$ 有 $u ≼ a$ ，那么 $u$ 被称为 $A$ 的一个下界（Lower Bounds）。

若任意 $a \in A$ 有 $a ≼ x$ ，并且对于 $A$ 的任意上界 $z$ 有 $x ≼ z$ ，则 $x$ 被称为 $A$ 的最小上界（Least Upper Bounds），记作 $l u b (A)$ ；如果 $y$ 是 $A$ 的下界，并且对于 $A$ 的任意下界 $z$ ，有 $z ≼ y$ ，则 $y$ 被称为 $A$ 的最大下界（Greatest Lower Bounds），记作 $g l b (A)$ 。

Lattices¶

如果一个偏序集的每对元素都有最小上界和最大下界，那么称这个偏序集为格（Lattices）

Topological Sorting¶

如果只要 $a R b$ 就有 $a ≼ b$ ，则称一个全序 $≼$ 与偏序 $R$ 是相容的（Compatible）。从一个偏序构造一个相容的全序称为拓扑排序（Topological Sorting）。

引理：每个有穷非空偏序集 $(S, ≼)$ 至少有一个极小元。

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