Chapter 02: The Basic Structures:Sets,Functions,Sequences,Sums and Matrices¶

Sets¶

Some Concepts of Set Theory¶

集合（Sets）：一个无序的对象的聚集（一般用大写字母来标记）
元素（Elements）/ 成员（Members）：在集合中的对象（一般用小写字母来标记）
我们称集合包含（Contain）它的元素
空集（The Empty/Void/Null Set）：没有元素的集合（一般用 $\phi$ 或 $\{\}$ 表示）
单元素集（Singleton Set）：只有一个元素的集合

e.g. $a \in A$ 表示 $a$ 是 $A$ 的一个元素/成员

$a \not \in A$ 表示 $a$ 不是 $A$ 的一个元素/成员

注意 $\phi$ 和 $\{\phi\}$ 是不一样的，前者为空集，后者为单元素集

The Description of Set¶

Roster Method¶

花名册方法（Roster Method）：当集合元素有限时，列举集合中所有的元素。

e.g. 小于 $10$ 的奇数所组成的集合 $S=\{1,3,5,7,9\}$

Set Builder¶

集合构造器（Set Builder）：通过描述作为集合的成员必须具有的性质来刻画集合中的元素。

e.g. 小于 10 的奇数所组成的集合 $S=\{x|x=2k+1(k=0,1,2,3,4)\}$

Venn Diagrams¶

在韦恩图当中，用矩形框表达全集（Universal Set，包含所考虑的全部对象），用圆或者其他几何图形来表达集合，用点来表达集合中的特定元素。

Subsets¶

当集合 $A$ 中的每一个元素都是集合 $B$ 中的元素，称 $A$ 是 $B$ 的一个子集（Subsets），用 $A \subseteq B$ 来表示。（$A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x (x \in A \rightarrow x \in B)$）

对于任意集合 $A$ ，空集 $\phi \subseteq A$，其自身 $A \subseteq A$

证明 $A$ 是 $B$ 的子集：如果要证明 $A \subseteq B$，需要证明如果 $x$ 属于 $A$ 那么 $x$ 也属于 $B$

证明 $A$ 不是 $B$ 的子集：如果要证明 $A \not \subseteq B$，需要找一个 $x \in A$ 使得 $x \not \in B$

Equal¶

当集合 $A$ 和集合 $B$ 含有相同的元素，称 $A$ 和 $B$ 是相等（Equal）的，用$A=B$ 来表示。（$A=B \Leftrightarrow \forall x[(x \in A \rightarrow x \in B) \land (x \in B \rightarrow x \in A)] \Leftrightarrow (A \subseteq B) \land (B \subseteq A)$）

Proper Subsets¶

当集合 $A$ 中的每一个元素都是集合 $B$ 中的元素，但是集合 $B$ 中含有其他不属于 $A$ 的元素，称 $A$ 是 $B$ 的一个真子集（Proper Subsets），用 $A \subset B$ 来表示。（$A \subset B \Leftrightarrow \forall x [(x \in A \rightarrow x \in B) \land \exists x(x \in B \land x \not \in A)] \Leftrightarrow (A \subseteq B) \land (A \not = B)$）

The Size of a Set¶

对于集合 $S$，如果 $S$ 中恰好含有 $n$ 个不同的元素（$n$ 为非负整数），那么我们称 $S$ 是一个有限集，$n$ 是 $S$ 的基数（Cardinality），记为 $|S|=n$

Power Sets¶

对于一个集合 $S$ ，它的幂集（Power Sets）是它所有子集的集合，记为 $P(S)=\{x|x \subseteq S\}$

其性质如下：

$|S|=n \Leftrightarrow |P(S)|=2^n$
如果 $S$ 是一个有限集，那么 $P(S)$ 也是一个有限集。
$x \in P(S) \Rightarrow x \subseteq S$
$x \in S \Rightarrow \{x\} \in P(S)$
$S \in P(S)$

e.g.1. 求 $\{\phi\}$ 和 $\{\phi,\{\phi\}\}$ 的幂集。

e.g.2. 证明 $P(A) \in P(B) \Rightarrow A \in B$

Cartesian Products¶

以 $a_1$ 为第一个元素，$a_2$ 为第二个元素，...，$a_n$ 为第 $n$ 个元素的有序聚集被称为有序 $n$ 元组（Ordered n-tuple），用 $(a_1,a_2,...,a_n)$ 表示。特别地，若 $n=2$，二元组被称为序偶（Ordered Pair）。

$(a_1,a_2,...,a_n)=(b_1,b_2,...,b_n) \Leftrightarrow a_i=b_i(i=1,2,...,n)$

令 $A$ 和 $B$ 为集合，$A$ 和 $B$ 的笛卡尔积（Cartesian Products）用 $A\times B$ 表示，其中 $A \times B=\{(a,b)|a \in A \land b \in B\}$

更一般地，$A_1\times A_2\times...\times A_n=\{(a_1,a_2,...,a_n)|a_i \in A_i(i=1,2,...,n)\}$

其性质如下：

若 $|A|=m,|B|=n$，那么 $|A\times B|=|B\times A|=mn$
$A\times B \not =B\times A$
$A\times \phi=\phi \times A=\phi$
$(x,y)\in A \times B \Rightarrow x \in A \land y \in B$
$(x,y)\not \in A \times B \Rightarrow x \not \in A \lor y \not \in B$

e.g. $A=\{a,b\},B=\{0,1,2\}$，求 $A\times B,B\times A$

Using Set Notation with Quantifiers¶

$\forall x \in S(P(x)) \Leftrightarrow \forall x(x \in S \rightarrow P(x))$

$\exists x \in S(P(x))\Leftrightarrow \exists x(x\in S \land P(x))$

Truth Sets of Quantifiers¶

给定谓词 $P$ 和定义域 $D$ ，定义 $P$ 的真值集（Truth Sets）为 $D$ 中使 $P(x)$ 为真的元素 $x$ 组成的集合，记为 $\{x \in D|P(x)\}$

$\forall xP(x)$ 如果在定义域 $U$ 上为真，等价于其真值集为 $U$；$\exists xP(x)$ 如果在定义域 $U$ 上为真，等价于其真值集不为空。

Set Operations¶

Union¶

对于集合 $A$ 和 $B$，其并集（Union）是一个包含 $A$ 或 $B$ 中或同时在 $A$ 和 $B$ 中的元素的集合，用 $A \bigcup B$ 来表示。（$A \bigcup B=\{x|x\in A \lor x \in B\}$）

其性质如下：

$A\subseteq A \bigcup B,B\subseteq B \bigcup A$
$A\subseteq C,B\subseteq C \Rightarrow A \bigcup B \subseteq C$
$|A\bigcup B|\leq |A|+|B|$
$A \bigcup B=B \Leftrightarrow A \subseteq B$

Intersection¶

对于集合 $A$ 和 $B$，其交集（Intersection）是一个包含同时在 $A$ 和 $B$ 中的元素的集合，用 $A \bigcap B$ 来表示。（$A \bigcap B=\{x|x\in A \land x \in B\}$）

当两个集合的交集是一个空集时，称这两个集合是不相交的（Disjoint）（即 $A\bigcap B=\phi$）

其性质如下：

$A \bigcap B \subseteq A,A \bigcap B \subseteq B$
$C\subseteq A,C\subseteq B\Rightarrow C\subseteq A \bigcap B$
$|A\bigcap B|\leq |A|,|A\bigcap B|\leq |B|$
$A\bigcap B=A\Leftrightarrow A \subseteq B$

Complement¶

令 $U$ 为全集，$A$ 的补集（Complement）为在全集中不属于 $A$ 的元素的集合，用 $\overline A$ 来表示。（$\overline A=\{x|x\not \in A,x \in U\}=\{x|\neg x \in A\}$）

Difference¶

对于集合 $A$ 和 $B$，$A$ 与 $B$ 的差集（Difference）是一个包含属于 $A$ 但不属于 $B$ 的元素的集合，用 $A-B$ 来表示，也被称为 $B$ 相对于 $A$ 的补集。（$A-B=\{x|x\in A \land x \not \in B\}=A \bigcap \overline B$）

Symmetric Difference¶

对于集合 $A$ 和 $B$，$A$ 与 $B$ 的对称差（Symmetric Difference）是一个包含属于 $A$ 但不属于 $B$ 和属于 $B$ 但不属于 $A$ 的元素的集合，用 $A\oplus B$ 来表示。（$A\oplus B=\{x|(x\in A \land x \not \in B) \lor (x\in B \land x \not \in A)\}=(A \bigcup B)-(A \bigcap B)$）

The Principle of Inclusion-Exclusion¶

容斥原理（The Principle of Inclusion-Exclusion）：$|A \bigcup B|=|A|+|B|-|A \bigcap B|$

更一般地：

$|A_1\bigcup A_2\bigcup ... \bigcup A_n|=\sum\limits _{i=1} ^n|A_i|-\sum\limits _{1\leq i<j \leq n}|A_i \bigcap A_j|\\+\sum\limits _{1\leq i<j<k \leq n}|A_i\bigcap A_j\bigcap A_k|+...+(-1)^{n-1}|A_1\bigcap A_2\bigcap ... \bigcap A_n|$

Set Identities¶

Name	identity
Identity laws （恒等律）	$A \bigcup \phi=A$ $A \bigcap U=A$
Domination laws （支配律）	$A \bigcup U=U$ $A \bigcap \phi=\phi$
Idempotent laws （幂等律）	$A \bigcup A=A$ $A \bigcap A=A$
Complementation law （补律）	$\overline{\overline A}=A$
Commutative laws （交换律）	$A \bigcup B=B \bigcup A$ $A \bigcap B=B\bigcap A$
Associative laws （结合律）	$A \bigcup (B \bigcup C)=(A \bigcup B)\bigcup C$ $A \bigcap (B \bigcap C)=(A \bigcap B)\bigcap C$
Distributive laws （分配律）	$A \bigcap (B \bigcup C)=(A \bigcap B) \bigcup (A \bigcap C)$ $A \bigcup (B \bigcap C)=(A \bigcup B) \bigcap (A \bigcup C)$
De Morgan's laws （德摩根定理）	$\overline{A \bigcup B}=\overline A \bigcap \overline B$ $\overline{A \bigcap B}=\overline A \bigcup \overline B$

Generalized Unions and Intersections¶

令 $A_1,A_2,...,A_n$ 为一系列已标号的集合，定义：

$\stackrel{n}{\underset{i=1}{\bigcup}}A_i=A_1 \bigcup A_2 \bigcup ... \bigcup A_n$（其中$\stackrel{n}{\underset{i=1}{\bigcup}}A_i$ 包括的元素属于这一系列集合中至少一个集合）

$\stackrel{n}{\underset{i=1}{\bigcap}}A_i=A_1 \bigcap A_2 \bigcap ... \bigcap A_n$（其中$\stackrel{n}{\underset{i=1}{\bigcap}}A_i$ 包括的元素属于这一系列所有集合）

Computer Representation of Set¶

在计算机中，用比特串（Bit String）来表示集合，设全集 $U$ 是一个有限集（而且大小合适，使 $U$ 的元素个数不超过计算机能使用的内存量）。为 $U$ 的元素任意规定一个顺序，例如 $a_1,a_2,...,a_n$。于是可以用长度为 $n$ 的比特串来表示 $U$ 的子集 $A$，其中如果 $a_i \in A$，比特串中第 $i$ 位是 1，否则为 0。

Functions¶

Introduction¶

定义：令 $A$ 和 $B$ 为非空集合，从 $A$ 到 $B$ 的函数（Functions） $f$ 是对元素的一种指派，对 $A$ 的每一个元素恰好指派 $B$ 的一个元素。如果 $B$ 中的元素 $b$ 是唯一由 $A$ 中的元素 $a$ 经函数 $f$ 指派的，那么我们就写为 $f(a)=b$ 。如果 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的函数，就写为 $f:A\rightarrow B$。

函数有时也被称为映射（Mapping）或者变换（Transformation）。

一个函数 $f:A\rightarrow B$ 也可以被定义为集合 $A \times B$ 的子集。如果对于每一个元素 $a \in A$ 都有且仅有一个序偶 $(a,b)$ ，那么它就定义了 $A$ 到 $B$ 的一个函数 $f$。这个函数可以写作 $f(a)=b$ 。其中这个子集满足对于序偶 $(a,b)$，子集中有且仅有这一个以 $a$ 为第一个元素的序偶。

用逻辑表达式来表述：$(\forall x[x\in A \rightarrow \exists y[y \in B \land (x,y)\in f]]) \land (\forall x,y_1,y_2[[(x,y_1)\in f \land (x,y_2)\in f]\rightarrow y_1=y_2])$

如果 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的函数，我们称 $f$ 把 $A$ 映射到 $B$ 或者 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的映射。其中 $A$ 被称为 $f$ 的定义域（Domain），$B$ 被称为 $f$ 的陪域（Codomain）。如果 $f(a)=b$，那么 $b$ 被称为 $a$ 在映射 $f$ 下的像（Image），$a$ 被称为 $b$ 的原像（Preimage）。$A$ 中所有元素的像的集合被称为 $f$ 的值域（Range），记作 $f(A)$。

如果两个函数含有相同的定义域，相同的值域，定义域中的每个元素映射到陪域中相同的元素时，称这两个函数是相等（Equal）的。

令函数 $f_1$ 和 $f_2$ 是从 $A$ 到 $\R$ 的映射，定义 $f_1+f_2$ 和 $f_1f_2$ ： $$ (f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x)\ (f_1f_2)(x)=f_1(x)f_2(x) $$ 令函数 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的映射，$S$ 是 $A$ 的一个子集，那么 $S$ 的像就是 $B$ 的一个子集（其中包含 $S$ 中元素的像），记作 $f(S)$ （这是一个集合而非一个值！）。那么有表达式 $f(S)=\{f(s)|s\in S\}$ 。

One-to-one Functions¶

一个从 $A$ 到 $B$ 的函数 $f$ 被称为是一对一（One-to-one）或单射（Injection/Injective）函数，当且仅当对于 $f$ 定义域中所有的 $a$ 和 $b$ ，当 $f(a)=f(b)$ 时有 $a=b$。（即对于函数陪域中的有原像的元素 $b$ ，它的原像是唯一的）

用逻辑表达式来表述：$\forall a\forall b(a\in A \land b \in A \land (f(a)=f(b)\rightarrow a=b))$，$\forall a\forall b(a\in A \land b \in A \land (a\not= b \rightarrow f(a)\not=f(b)))$

一个函数是：

递增的：$\forall x\forall y(x<y \rightarrow f(x)\leq f(y))$
严格递增的：$\forall x \forall y(x<y \rightarrow f(x)<f(y))$
递减的：$\forall x \forall y(x<y\rightarrow f(x)\geq f(y))$
严格递减的：$\forall x\forall y(x<y \rightarrow f(x)>f(y))$

Onto Functions¶

一个从 $A$ 到 $B$ 的函数 $f$ 被称为是映上（Onto）或满射（Surjection/Surjective）函数，当且仅当对每个 $b\in B$ 有元素 $a\in A$ 使得 $f(a)=b$。（即对于函数陪域中的每个元素 $b$，它都存在原像）

用逻辑表达式来表述：$\forall b(b\in B\rightarrow \exists a(a\in A \land f(a)=b))$

One-to-one Correspondence Functions¶

如果一个函数 $f$ 既是一对一的又是映上的，那么称这个函数是一一对应（One-to-one Correspondence）或双射（Bijection/Bijective）函数。

如果从 $A$ 到 $B$ 的函数 $f$ 是双射函数，那么集合 $A$ 和 $B$ 含有相同的元素个数或者相同的基数。

假设 $f:A\rightarrow B$：

要证明 $f$ 是单射的：证明对于任意 $x,y\in A$，如果 $f(x)=f(y)$，则 $x=y$
要证明 $f$ 不是单射的：找到特定的 $x,y\in A$，使得 $x\not= y$ 且 $f(x)=f(y)$
要证明 $f$ 是满射的：考虑任意元素 $y\in B$，并找到一个元素 $x\in A$ 使得 $f(x)=y$
要证明 $f$ 不是满射的：找到一个特定的 $y\in B$，使得对于任意 $x\in A$ 有 $f(x)\not=y$

Inverse Functions¶

令 $f$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一一对应（只有一一对应才有反函数！）。$f$ 的反函数/逆函数（Inverse Functions）将 $B$ 中的元素 $b$ 指派给 $A$ 中的唯一元素 $a$（满足 $f(a)=b$），用 $f^{-1}$ 来表示。（即 $f(a)=b$ 时，$f^{-1}(b)=a$）

Some Important Functions¶

向下取整函数（Floor Function）$f(x)=\lfloor x \rfloor$ 表示小于等于 $x$ 的最大整数（一般也被称为取整函数，也可记为 $f(x)=[x]$）。

向上取整函数（Ceiling Function）$f(x)=\lceil x \rceil$ 表示大于等于 $x$ 的最小整数。

其性质如下：

$\lfloor x \rfloor =n \Leftrightarrow x-1<n \leq x<n+1(n \in \Z)$
$\lceil x \rceil =n \Leftrightarrow n-1<x\leq n<x+1(n \in \Z)$
$x-1<\lfloor x \rfloor\leq x \leq \lceil x \rceil <x+1$
$\lfloor -x \rfloor=-\lceil x \rceil$
$\lceil -x \rceil=-\lfloor x \rfloor$
$\lfloor x+m\rfloor=\lfloor x\rfloor+m(m\in \Z)$
$\lceil x+m \rceil=\lceil x \rceil+m(m\in \Z)$

Sequences and Summations¶

Sequences¶

序列（Sequence）是一个从整数集的的一个子集（通常为集合 $\{0,1,2,3,4,...\}$ 或集合 $\{1,2,3,4,...\}$ 到一个集合 $S$ 的函数。用记号 $a_n$ 表示整数 $n$ 的像，称其为序列的一个项（Term），用记号 $\{a_n\}$ 来表示序列。

Some Famliar Sequences¶

几何级数是形式如 $a,ar,ar^2,...,ar^n,...$ 的序列（其中初始项 $a$ 和公比 $r$ 都是实数）。

算数级数是形式如 $a,a+d,a+2d,...,a+nd,...$ 的序列（其中初始项 $a$ 和公差 $d$ 都是实数）。

Strings¶

有穷序列也被称为串（Strings），可以被记为 $a_1a_2...a_n$ ，串的长度是这个串的项数。空串是没有任何项的串，记作 $\lambda$ ，其长度为 0。

Recurrence Relation¶

关于序列 $\{a_n\}$ 的递推关系（Recurrence Relation）是一个等式，对所有满足 $n \geq n_0$ 的 $n$ ，它把 $a_n$ 用序列中前面的项，即 $a_0,a_1,...,a_{n-1}$ 的一项或多项来表示，其中 $n_0$ 是一个非负整数。

如果一个序列的项满足递推关系，则该序列被称为是递推关系的一个解（Solution）

一个序列的初始条件（Initial Conditions）规定了在递推关系定义的首项前的那些项。

Cardinality of Sets¶

Cardinality¶

集合 $A$ 和集合 $B$ 有相同的基数（Cardinality）$\Leftrightarrow$ 存在从 $A$ 到 $B$ 的一个一一对应，记为 $|A|=|B|$

e.g. 令集合 $A$ 为 $(a,b)$ 之间所有的实数 $(a<b)$ ，集合 $B$ 为 $(0,1)$ 之间所有的实数，证明 $|A|=|B|$ 。

如果存在一个从 $A$ 到 $B$ 的一对一函数，则 $A$ 的基数小于等于 $B$ 的基数，记为 $|A|\leq |B|$ ，如果 $A$ 和 $B$ 有不同的基数时，$A$ 的基数小于 $B$ 的基数，记为 $|A|<|B|$

Countable Sets¶

如果一个集合是有限集或者与自然数集具有相同的基数，那么这个集合就被称为可数的（Countable），否则这个集合就被称为不可数的（Uncountable）。

当一个无限集 $S$ 是可数的，我们用符号 $\aleph_0$ 来表示集合 $S$ 的基数，记为 $|S|=\aleph_0$ ，并且称 $S$ 有基数“阿里夫零”。

一个无限集是可数的 $\Leftrightarrow$ 可以把集合中的元素排列成序列（以正整数为下标）。

Uncountable Sets¶

定理：

$(0,1)$ 中所有的实数组成的集合是不可数的，更一般地，实数集 $\R$ 是不可数的。
任何含有不可数的子集的集合是不可数的
$|\R|=\aleph$
不存在一个无限集，其基数比可数集小。
两个可数集的并集也是可数的。

e.g. 证明 $|(0,1)|=|[0,1]|$

Uncomputable Function-An Important Application in CS¶

定义：如果存在某种编程语言写的计算机程序能计算一个函数的值，那么这个函数被称为是可计算的（Computable），否则被称为是不可计算的（Uncomputable）

Continuum Hypothesis¶

康托尔定理：一个集合的基数总是小于其幂集的基数

连续统假设： $|P(Z^+)|=|R|=c$，不存在介于 $\aleph_0$ 和 $c$ 的基数。即不存在一个集合，它的基数比正整数集合的基数大，又比实数集集合的基数小。

Matrices¶

基本与线性代数相同，主要的新概念有 0-1 矩阵。

Zero-One Matrices¶

所有元素非 0 即 1 的矩阵称为 0-1矩阵（Zero-One Matrices）。

令 $A=[a_{ij}]$ 和 $B=[b_{ij}]$ 为 $m\times n$ 阶 0-1 矩阵。$A\lor B$ 是 0-1 矩阵，其 $(i,j)$ 元素为 $a_{ij}\lor b_{ij}$。$A\land B$ 是 0-1 矩阵，其 $(i,j)$ 元素是 $a_{ij}\land b_{ij}$ 。

令 $A=[a_{ij}]$ 为 $m\times k$ 阶 0-1 矩阵，$B=[b_{ij}]$ 为 $k\times n$ 阶 0-1 矩阵。$A$ 和 $B$ 的布尔积记作 $A\bigodot B$ ，是 $m\times n$ 矩阵 $[c_{ij}]$ ，其中 $c_{ij}=(a_{i1}\land b_{1j})\lor (a_{i2}\land b_{2j}) \lor ... \lor (a_{ik}\land b_{kj})$

令 $A$ 为 0-1 方阵，$r$ 为正整数。$A$ 的 $r$ 次布尔幂记作 $A^{[r]}$ ，$A^{[r]}=\underbrace{A\bigodot A\bigodot A\bigodot ... \bigodot A}_{(r个A)}$

Name	identity
Identity laws （恒等律）	\(A \bigcup \phi=A\) \(A \bigcap U=A\)
Domination laws （支配律）	\(A \bigcup U=U\) \(A \bigcap \phi=\phi\)
Idempotent laws （幂等律）	\(A \bigcup A=A\) \(A \bigcap A=A\)
Complementation law （补律）	\(\overline{\overline A}=A\)
Commutative laws （交换律）	\(A \bigcup B=B \bigcup A\) \(A \bigcap B=B\bigcap A\)
Associative laws （结合律）	\(A \bigcup (B \bigcup C)=(A \bigcup B)\bigcup C\) \(A \bigcap (B \bigcap C)=(A \bigcap B)\bigcap C\)
Distributive laws （分配律）	\(A \bigcap (B \bigcup C)=(A \bigcap B) \bigcup (A \bigcap C)\) \(A \bigcup (B \bigcap C)=(A \bigcup B) \bigcap (A \bigcup C)\)
De Morgan's laws （德摩根定理）	\(\overline{A \bigcup B}=\overline A \bigcap \overline B\) \(\overline{A \bigcap B}=\overline A \bigcup \overline B\)

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Proper Subsets¶

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Truth Sets of Quantifiers¶

Set Operations¶

Union¶

Intersection¶

Complement¶

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Symmetric Difference¶

The Principle of Inclusion-Exclusion¶

Set Identities¶

Generalized Unions and Intersections¶

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One-to-one Functions¶

Onto Functions¶

One-to-one Correspondence Functions¶

Inverse Functions¶

Some Important Functions¶

Sequences and Summations¶

Sequences¶

Some Famliar Sequences¶

Strings¶

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Cardinality of Sets¶

Cardinality¶

Countable Sets¶

Uncountable Sets¶

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Continuum Hypothesis¶

Matrices¶

Zero-One Matrices¶

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