Homework 09

Question 01

（1）每个市民可以选择参与维修和视而不见，设 \(x_i=\{0,1\}\) 表示每位市民的策略，其中 0 表示视而不见，1 表示参与维修

则 \(w_i=\begin{cases}v-cx_i & \sum\limits_{i=1}^nx_i>0\\0 & \sum\limits_{i=1}^nx_i=0\end{cases}\)

由于 \(v>c\)，则纳什均衡为 \(\sum\limits_{i=1}^nx_i=1\)

（2）当第 \(n\) 位市民采用“参与维修”策略时的期望收益为 \(v-c\)，采用“视而不见”策略时的期望收益为 \(v(1-q^{n-1})\)

（3）如果所有参与者采用的混合策略均为 \((p,q)\)，即以概率 \(p\) 参与维修，以概率 \(q=1-p\) 视而不见，期望在其余所有人不管取什么策略（即有没有其他人参与维修）个人的收益都相等，则有：

\[ (v-c)\times 1=v\times(1-q^{n-1})+0\times q^{n-1} \]

解得 \(q=(\frac{c}{v})^{\frac{1}{n-1}}\)，即所有参与者以概率 \(1-(\frac{c}{v})^{\frac{1}{n-1}}\) 参与维修，以概率 \((\frac{c}{v})^{\frac{1}{n-1}}\) 视而不见

这说明了个人利益最大不一定代表着集体利益最大

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Question 02

（1）根据第一天双方决策分类，机构的收益矩阵如下：

	机构检查	机构不检查
企业排放	1	-1
企业不排放	V(m-1,n-1)	V(m,n-1)

（2）初始条件：\(V(0,i)=-1(0<i\leq n), V(n,n)=1\)

对于 V(m,n)，企业在第一天排放的概率为 \(p\)，根据纳什均衡，有：

\[ p\times 1+(1-p)\times V(m-1,n-1)=p\times(-1)+(1-p)\times V(m,n-1) \]

解得 \(p=\frac{V(m,n-1)-V(m-1,n-1)}{2-V(m-1,n-1)+V(m,n-1)}\)

则代入得到 \(V(m,n)=\frac{V(m,n-1)+V(m-1,n-1)}{2-V(m-1,n-1)+V(m,n-1)}\)

（3）当 \(m=1\) 时，有 \(V(1,n)=\frac{V(1,n-1)+V(0,n-1)}{2-V(0,n-1)+V(1,n-1)}=\frac{V(1,n-1)-1}{3+V(1,n-1)}\)

令 \(a_n=V(1,n)\)，则有 \(a_n=\frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}+3}\)，有初始条件 \(a_1=1\)

解递推关系有 \(a_n=\frac{2}{n}-1\)，即 \(V(1,n)=\frac{2}{n}-1\)

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