Homework 4

Question 01

由定义，\(L_i=\frac{\sum\limits_{j=1}^iy_j}{\sum\limits_{j=1}^ny_j},i=1,...,n\)

则有：

\[ \begin{aligned} S_B&=\sum\limits_{j=1}^n\frac{L_{i-1}+L_i}{2}·\frac{1}{n}=\frac{1}{2n}(2\sum\limits_{i=1}^nL_i-L_n)\\ &=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n L_i-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n\sum\limits_{j=1}^ny_j}\sum\limits_{i=1}^n(n-i+1)y_i-\frac{1}{2n}\\ \end{aligned} \]

因此 \(G=2(\frac{1}{2}-S_B)=\frac{n+1}{n}-\frac{2}{n\sum\limits_{j=1}^ny_j}\sum\limits_{i=1}^n(n-i+1)y_i\)

由于 \(y_1\leq y_2\leq ...\leq y_n\) ，因此 \(L_i\leq\frac{i}{n}\) ,即 \(L\) 总在直线 \(y = x\) 的下方，\(G\) 越大，\(L\) 在横坐标较小时增长较慢，在横坐标较大时增长迅速，说明少部分人占有收入比例很高，家庭收入差异大。

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Question 02

（1）若进入会场时有 n 个座位可供选择，与会者选择每个座位的概率均为 \(\frac{1}{n}\)。若他选择了第 \(i\) 个座位,下一个进入会场者只有其左侧的 \(i − 1\) 个座位可供选择。因此，可得递推关系：\(E_n=1+\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nE_{i-1}\)，即 \(nE_n=n+\sum\limits_{i=1}^nE_{i-1}\)，再写一项我们有 \((n+1)E_{n+1}=n+1+\sum\limits_{i=1}^{n+1}E_{i-1}\)，两式相减即得 \((n+1)E_{n+1}-nE_n=1+E_n\)，即 \(E_{n+1}=E_n+\frac{1}{n+1}\)，由 \(E_1=1\)，则 \(E_n=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i}\)

（2）记 \(G_n\) 为只有一侧有入口时最终入座人数的期望，则 \(G_n\) 满足递推关系 \(G_n=1+pG_{n-1}+(1-p)·\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nG_{i-1}\)，则 \(F_n\) 满足递推关系 \(F_n=1+pF_{n-1}+(1-p)·\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(G_{i-1}+G_{n-i})\)

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