Homework 01
Homework 01¶
学在浙大¶
Question 1¶
（1）由题意可得 \(\sum\limits_{i=1}^kL_1(\mu,\sigma_i)=\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^n|\mu_j-\sigma_j^i|=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^k|\mu_j-\sigma_j^i|\) 考虑其中的一项 \(\sum\limits_{i=1}^k|\mu_j-\sigma_j^i|\)，这时 \(\mu_j\) 为变量，而 \(\sigma_j^i\) 为既定常量 将 \(\sigma_j^1,\sigma_j^2,...,\sigma_j^k\) \(k\) 个元素进行排序，假设排序后为 \(\sigma_j^{1'},\sigma_j^{2'} ,...,\sigma_j^{k'}\)，考虑以下两种情况：
- \(k\) 为偶数，那么取 \(\mu_j=\frac{\sigma_j^{\frac{k}{2}'}+\sigma_j^{\frac{k}{2}+1'}}{2}\)，\(\sum\limits_{i=1}^k|\mu_j-\sigma_j^i|\) 可取到最小值
- \(k\) 为奇数，那么取 \(\mu_j=\sigma_j^{\frac{k}{2}'}\)，\(\sum\limits_{i=1}^k|\mu_j-\sigma_j^i|\) 可取到最小值
按照以上取法可以得到 \(\mu\)，即 \(\mu_j\) 应该是第 \(j\) 个物品在所有专家中的排名的中位数。将 \(\mu\) 中元素排序过后每个元素对应的排名（相同排名顺序可任意确定）即为综合排序 \(\sigma'\)，但是 \(\sigma^*\) 无法从 \(\mu\) 得到，因为 \(\mu\) 中的元素可能存在相同的情况
（2）这个题目等价于证明对数据 \(a_1,a_2,...,a_k\)，中位数为 \(\mu\)，平均值为 \(\beta\)，\(2\sum\limits_{i=1}^k|a_i-\mu|\geq\sum\limits_{i=1}^k|a_i-\beta|\) 将 \(a_1,a_2,...,a_k\) 平均分为两部分，设 \(x_1\leq x_2\leq ...\leq x_n\leq \mu \leq y_1\leq y_2\leq ... \leq y_n\)，当 \(k\) 为偶数时 \(\mu = \frac{x_n+y_1}{2}\)，\(k\) 为奇数时 \(\mu\) 即为中间那个数，我们分两种情况来看：
- \(\beta\leq\mu\)，不妨设 \(x_m\leq\beta\leq x_{m+1}\)，令 \(\mu=x_{n+1}\)，此时：
- \(\beta\geq\mu\)，同理，设 \(y_m\leq\beta\leq y_{m+1}\)，令 \(\mu = y_0\)
（3）
Question 2¶
（1）\(s_1=5-10+57-45=7,s_2=10-5+10-7=8\)
\(s_3=7-10+3-10=-10,s_4=45-57+10-3=-5\)
\(\therefore \pmb{S}=\{7,8,-10,-5\}^T\)
（2）\(s_1^{(2)}=0(AAA)-5(AAB)+12(AAD)-5(ABB)+12(ADD)-5+3(ABC)+0(ADA)+12+7(ADC)+0(ABA)=31\)
\(s_2^{(2)}=0(BBB)+5(BAA)+5(BBA)+3(BBC)+3(BCC)+0(BAB)+0(BCB)+5+12(BAD)+3-7(BCD)=29\)
\(s_3^{(2)}=0(CCC)-3(CCB)-3(CBB)-7(CCD)-7(CDD)+0(CBC)+0(CDC)-3+5(CBA)-7-12(CDA)=-37\)
\(s_4^{(2)}=0(DDD)+7(DDC)+7(DCC)-12(DDA)-12(DAA)+0(DCD)+0(DAD)+7-3(DCB)-12-5(DAB)=-23\)
\(\therefore S^{(2)}=\{31,29,-37,-23\}^T\)
（3）\(S^{(2)}=M·S+l·S\)
设 \(M^2=(m^2_{ij})_{n\times n}\)，其中 \(m_{ij}^2\) 表示队 \(i\) 与队 \(j\) 之间进行了 \(m_{ij}^2\) 场”二级比赛“
（4）\(S^{(r)}=M^{(r-1)}·S+l·S^{(r-1)}\)
MOOC¶
